đề thi IMO môn tóan

. Chứng minh rằng [ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức = A nhận các giá trị:
(a) A = căn 2
(b) A = 1
(c) A = 2
Ở đây chỉ có các số thực không âm cho phép trong dấu căn và giá trị của căn luôn lấy giá trị không âm?


3. Giả sử a, b, c là các số thực. Cho phương trình sau của cosx:
a cos2x + b cos x + c = 0
Hãy thiết lập phương trình bậc 2 đối với cos2x sao cho có cùng nghiệm x với phương trình trên. So sánh các phương trình trên với a = 4, b = 2, c = -1.


4. Cho trước độ dài |AC|, hãy dựng tam giác ABC với góc = 90 độ, và trung tuyến BM thỏa mãn BM2 = AB.BC.


5. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N.
(a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N.
(b) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào M).
(c) Tìm quĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ khi M thay đổi.


6. Cho hai mặt phẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A nằm trong P nhưng không thuộc Q, điểm C nằm trong Q nhưng không thuộc P. Dựng điểm B trong P và D trong Q sao cho tứ giác ABCD thoả mãn các điều kiện sau: nằm trênng một mặt phẳng, AB song song với CD, AD = BC, và ngoại tiếp một đường tròn.

Tôi nhìn anh, anh lại nhìn tôi hai đứa nhìn hnau lẹ hoắc

hix ................. cố lên nèo

Co' oi` ma` van~ lac loai` !!!!

dung' oaj`........nhjn` wa nhjn` lại cha? ma nao` jai? dc....cha` chang? le~ bat' buoc mjnh` faj ra tay seo .........